三、数据的概括性度量

数据分布的特征可以从三个方面进行描述：一是分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势；三是分布的形状，反映数据分布偏斜程度和峰度。

1. 集中趋势的度量

集中趋势（Central tendency）是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，它反映了一组数据中心点的位置。

1.1 分类数据：众数

众数（Mode）：一组数据中出现频数最多的变量值，用M_o表示。一般适合于数据量较多时使用，且不受极端值的影响；一组数据可能没有众数或有几个众数。

无众数	一个众数	多于一个众数

例：

解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值。所调查的50人中，购买可口可乐的人数最多，为15人，占被调查总人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即M_o＝可口可乐

1.2 顺序数据：中位数和分位数

中位数（Median）：一组数据排序后处于中间位置上的变量值，用M_e表示。

中位数位置的确定：

四分位数：一组数据排序后处于25%和75%位置上的值。

四分位数位置的确定：

1.3 数值型数据：平均数

平均数（Mean）：一组数据相加后除以数据的个数而得到的结果。

（1）简单平均数和加权平均数

根据未经分组整理的原始数据计算平均数。设一组样本数据为x1,x2,…,xn，样本容量为n，则样本平均数用表示，计算公式为：

根据分组数据计算平均数。设原始数据被分成k组，各组的组中值分别用M1,M2,…Mn表示，各组变量出现的频数分别用f1,f2,…fn表示，则平均数的计算公式为：

（2）几何平均数

几何平均数（geometric mean）：n个变量值乘积的n次方根，用G_m表示

几何平均数的计算公式为：

它可以看作是平均数的一种变形：

例：某水泥生产企业1999年的水泥产量为100万吨，2000年与1999年相比增长率为9%，2001年与2000年相比增长率为16%，2002年与2001年相比增长率为20%。求各年的年平均增长率。

年平均增长率＝114.91%-1=14.91%

设开始的数值为y0，逐年增长率为G1,G2,…Gn，第n年的数值为：

1.3 众数、中位数和平均数的比较

众数的特点：（1）不受极端值影响；（2）具有不惟一性；（3）数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时应用

中位数的特点：（1）不受极端值影响；（2）数据分布偏斜程度较大时应用

平均数的特点：（1）易受极端值影响；（2）数学性质优良；（3）数据对称分布或接近对称分布时应用

2. 离散程度的度量

数据的分散程度是数据分布的另一个重要特征，它所反映的是各变量值远离其中心值的程度，因此也称为离中趋势。

2.1 分类数据：异众比率

异众比率（variation ratio）：非众数组的频数占总频数的比率，用V_t表示。用异众比率主要用于衡量众数对一组数据的代表程度。异众比率的计算公式为：

异众比率越大，说明非众数组的频数占总频数的比重越大，众数的代表性就越差；异众比率越小，说明非众数组的频数占总频数的比重越小，众数的代表性越好。

2.2 顺序数据：四分位差

四分位差（quartile deviation）：也称为内距或四分间距，上四分位数与下四分位数之差，用Q_d表示。

四分位差的计算公式为：Qd = Q_U – Q_L

四分位差反映了中间50%数据的离散程度，其数值越小，说明中间的数据越集中，数值越大，说明中间的数据越分散。它不受极端值的影响，一般用它来衡量中位数的代表性。

2.3 数值型数据：方差和标准差

（1）极差（Range）：也称全距，一组数据的最大值与最小值之差，用R表示。

极差的计算公式为：R = max(x_i) – min(x_i)

（2）平均差（mean deviation）：也称平均绝对离差，各变量值与其平均数离差绝对值的平均数，用M_d表示。

未分组数据计算平均差的公式为：

分组数据平均差的公式为：

（3）方差和标准差

方差和标准差是数据离散程度的最常用测度值，它反映了各变量值与均值的平均差异。根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差，记为s²(s)；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差，记为s²(s)。

未分组数据：

分组数据：

标准差（standard deviation）：方差的平方根

未分组数据：

分组数据：

2.4 相对位置的度量：标准分数

（1）标准分数

标准分数（standard score）：也称为标准化值或z分数，变量值与其平均数的离差除以标准差后的值。

设标准分数为z，则有：

标准分数主要是对某一个值在一组数据中相对位置的度量，它可用于判断一组数据是否有离群点(outlier)，也用于对变量的标准化处理。

标准分数具有平均数为0，标准差为1的特征：

（2）经验法则

经验法则表明：当一组数据对称分布时

• 约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内
• 约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内
• 约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内

（3）切比雪夫不等式

如果一组数据不是对称分布，经验法则就不再适用，这时可使用切比雪夫不等式，它对任何分布形状的数据都适用。切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少”。对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有1-1/k2的数据落在k个标准差之内。其中k是大于1的任意值，但不一定是整数

对于k=2，3，4，该不等式的含义是

• 至少有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内
• 至少有89%的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内
• 至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内

2.5 相对离散程度：离散系数

离散系数（coefficient of variation）：也称为变异系数，一组数据的标准差与其相应的平均数之比。

计算公式为：

离散系数的作用主要是用于比较不同样本数据的离散程度。离散系数大就说明数据的离散程度大，离散系数小就说明数据的离散程度小。

3. 偏态和峰态的度量

集中趋势和离散程度是数据分布的两个重要特征，但要全面了解数据分布的特点，还需要知道数据分布的形状是否对称、偏斜的程度以及分布的扁平程度等。偏态和峰态就是对分布形状的测度。

3.1 偏态及其测度

偏态（skewness）：数据分布的不对称性。

偏态系数（SK）：对数据分布不对称性的度量值。

偏态系数的计算方法有很多，对于未分组数据通常采用下面的公式：

对于分组数据，一般采用下面的公式：

3.2 峰态及其测度

峰态（kurtosis）：数据分布的平峰或尖峰程度。

峰态系数（K）：对数据分布峰态的度量值。

如果一组数据服从标准正态分布，则峰态系数等于0；如果峰态系数明显不同于0，表明分布比正态分布更平或更尖，通常称为平峰分布或尖峰分布。

未分组数据通常采用如下的公式：

分组数据采用如下的公式：

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